Введение в анализ данных¶

PyTorch и полносвязные нейронные сети¶

pytorch-logo.png

1. Введение¶

В данном ноутбуке мы будем пользоваться фреймворком PyTorch, который предназначен для работы с нейронными сетями. Как установить torch можно прочитать на официальном сайте PyTorch. Для этого выберите свою OS, и вам будет показана нужная команда для ввода в терминале.

Больше подробностей о том, как работает torch, будет рассказано на 3 курсе.

In [1]:
import numpy as np
import pandas as pd

import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
from IPython.display import clear_output

sns.set(palette="Set2")

import torch
from torch import nn

print(torch.__version__)

2.6.0+cu124

1.1 Сравнение NumPy и PyTorch-синтаксиса¶

Интерфейс torch написан подобно интерфейсу numpy для удобства использования. Главное различие между ними в том, что numpy оперирует numpy.ndarray массивами, а torch — тензорами torch.Tensor. Тензор в torch, как и массив в numpy представляет собой многомерную матрицу с элементами одного типа данных. Напишем одни и те же операции на numpy и torch.

numpy

In [2]:
x = np.arange(16).reshape(4, 4)

print(f"Матрица X:\n{x}\n")
print(f"Размер: {x.shape}\n")
print(f"Добавление константы:\n{x + 5}\n")
print(f"X*X^T:\n{np.dot(x, x.T)}\n")
print(f"Среднее по колонкам:\n{x.mean(axis=-1)}\n")
print(f"Кумулятивная сумма по колонкам:\n{np.cumsum(x, axis=0)}\n")

Матрица X:
[[ 0  1  2  3]
 [ 4  5  6  7]
 [ 8  9 10 11]
 [12 13 14 15]]

Размер: (4, 4)

Добавление константы:
[[ 5  6  7  8]
 [ 9 10 11 12]
 [13 14 15 16]
 [17 18 19 20]]

X*X^T:
[[ 14  38  62  86]
 [ 38 126 214 302]
 [ 62 214 366 518]
 [ 86 302 518 734]]

Среднее по колонкам:
[ 1.5  5.5  9.5 13.5]

Кумулятивная сумма по колонкам:
[[ 0  1  2  3]
 [ 4  6  8 10]
 [12 15 18 21]
 [24 28 32 36]]

pytorch

In [3]:
x = np.arange(16).reshape(4, 4)
x = torch.tensor(x, dtype=torch.float32)  # или torch.arange(0,16).view(4,4)

print(f"Матрица X:\n{x}")
print(f"Размер: {x.shape}\n")
print(f"Добавление константы:\n{x + 5}")
print(f"X*X^T:\n{torch.matmul(x, x.transpose(1, 0))}")  # кратко: x.mm(x.t())
print(f"Среднее по колонкам:\n{torch.mean(x, dim=-1)}")
print(f"Кумулятивная сумма по колонкам:\n{torch.cumsum(x, dim=0)}")

Матрица X:
tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  5.,  6.,  7.],
        [ 8.,  9., 10., 11.],
        [12., 13., 14., 15.]])
Размер: torch.Size([4, 4])

Добавление константы:
tensor([[ 5.,  6.,  7.,  8.],
        [ 9., 10., 11., 12.],
        [13., 14., 15., 16.],
        [17., 18., 19., 20.]])
X*X^T:
tensor([[ 14.,  38.,  62.,  86.],
        [ 38., 126., 214., 302.],
        [ 62., 214., 366., 518.],
        [ 86., 302., 518., 734.]])
Среднее по колонкам:
tensor([ 1.5000,  5.5000,  9.5000, 13.5000])
Кумулятивная сумма по колонкам:
tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
        [ 4.,  6.,  8., 10.],
        [12., 15., 18., 21.],
        [24., 28., 32., 36.]])

Все же некоторые названия методов отличаются от методов numpy. Полной совместимости с numpy по-прежнему нет, но с обновлениями разрыв постепенно сокращался. Однако последние изменения были не столь значительными, так что необходимость заново запоминать новые названия встречается реже.

Например, PyTorch использует другое написание стандартных типов:

  • x.astype('int64') -> x.type(torch.LongTensor)

Для более детального сравнения можно воспользоваться таблицей перевода методов из numpy в torch или обратиться к официальной документации. Если же возникают сложности, полезно заглянуть на форумы PyTorch.

1.2 NumPy <-> PyTorch¶

Можно переводить numpy-массив в torch-тензор и наоборот. Например, чтобы сделать из numpy-массива torch-тензор, можно поступить следующим образом

In [4]:
# зададим numpy массив
x_np = np.array([2, 5, 7, 1])

# 1-й способ
x_torch = torch.tensor(x_np)
print(type(x_torch), x_torch)

# 2-й способ
x_torch = torch.from_numpy(x_np)
print(type(x_torch), x_torch)

<class 'torch.Tensor'> tensor([2, 5, 7, 1])
<class 'torch.Tensor'> tensor([2, 5, 7, 1])

Аналогично и с переводом обратно: функция x.numpy() переведет torch-тензор x в numpy-массив, причем типы переведутся соответственно табличке.

In [5]:
x_np = x_torch.numpy()
print(type(x_np), x_np)

<class 'numpy.ndarray'> [2 5 7 1]

1.3 Еще один пример¶

Нарисуем по сетке данную кривую на графике, используя torch:

$$x(t) = 2 \cos t + \sin 2t \cos 60t,$$

$$y(t) = \sin 2t + \sin 60t.$$

In [6]:
t = torch.linspace(-10, 10, steps=10000)
x = 2 * torch.cos(t) + torch.sin(2 * t) * torch.cos(60 * t)
y = torch.sin(2 * t) + torch.sin(60 * t)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel("$x$")
plt.ylabel("$y$")
plt.title("Заданная функциями $x(t), y(t)$ кривая")
plt.show()
No description has been provided for this image

Заметим, что библиотека matplotlib справляется с отображением pytorch-тензоров, и дополнительных преобразований делать не нужно.

2. Простой пример обучения нейронной сети¶

2.1 Цикл обучения модели¶

Пусть задана нейронная сеть $y_\theta(x)$, параметризуемая обучаемыми параметрами $\theta$. Для обучения модели необходимо задать оптимизируемую функцию (функцию ошибки, лосс) $\mathscr{L}(\theta)$, которую следует минимизировать.

Процесс обучения происходит следующим образом.

  • Прямой проход / Forward pass:
    Вычисляем $\widehat{Y}_i = y_\theta(x_i)$ для входных данных $x$ для текущего значения параметров $\theta$.
  • Вычисление оптимизируемой функции:
    Вычисляем оптимизируемую функцию $\mathscr{L}(\theta)$.
  • Обратный проход / Backward pass:
    Считаем градиенты по всем обучаемым параметрам $\nabla_\theta \mathscr{L}$.
  • Шаг оптимизации:
    Делаем шаг градиентного спуска, обновляя все обучаемые параметры.

2.2 Линейная регрессия¶

На лекции было показано, что линейную регрессию можно представить как частный случай нейрона с тождественной функцией активации. Сделаем одномерную линейную регрессию на датасете boston. Этот датасет представляет собой набор данных конца 70-х годов прошлого века для предсказания цены недвижимости в Бостоне.

Скачаем данные.

In [7]:
# ссылка для скачивания данных
data_url = "http://lib.stat.cmu.edu/datasets/boston"

# собираем таблицу данных
raw_df = pd.read_csv(data_url, sep=r"\s+", skiprows=22, header=None)

# выделяем признаки и таргет
data = np.hstack([raw_df.values[::2, :], raw_df.values[1::2, :2]])
target = raw_df.values[1::2, 2]

Будем рассматривать зависимость таргета (медианная стоимость домов в тысячах долларов) от последнего признака (процент населения людей с низким уровнем дохода).

In [8]:
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.scatter(data[:, -1], target, alpha=0.7)
plt.xlabel("% населения с низким уровнем дохода")
plt.ylabel("Медианная стоимость домов в тыс. $")
plt.title("Обучающие данные");
No description has been provided for this image

В данном случае предсказание модели задается следующим образом: $$\widehat{y}(x) = xw + b,$$ где $w, b \in \mathbb{R}$ — обучаемые параметры модели. Это обычная линейная модель, и с ней мы уже работали ранее.

Объявляем обучаемые параметры. Также задаем признак $X$ и таргет $Y$ в виде torch-тензоров.

In [9]:
# создаем два тензора размера 1 с заполнением нулями,
# для которых будут вычисляться градиенты
w = torch.zeros(1, requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

# Данные оборачиваем в тензоры, по которым не требуем вычисления градиента
x = torch.FloatTensor(data[:, -1] / 10)
y = torch.FloatTensor(target)

# по-другому:
# x = torch.tensor(boston.data[:, -1] / 10, dtype=torch.float32)
# y = torch.tensor(boston.target, dtype=torch.float32)
In [10]:
print(x.shape)
print(y.shape)

torch.Size([506])
torch.Size([506])

Зададим оптимизируемую функцию / функцию ошибки / лосс — MSE:

$$ \mathrm{MSE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(\widehat{Y}_i - Y_i\right)^2. $$

In [11]:
def optim_func(y_pred, y_true):
    return torch.mean((y_pred - y_true) ** 2)

После того как мы вычислим результат применения этой функции к нашим данным, нам потребуется посчитать градиенты для всех обучаемых параметров. Это необходимо для выполнения шага градиентного спуска.

Для этого мы можем воспользоваться функцией backward. Вызов backward для результата вычисления функции ошибки loss позволит нам выполнить обратный проход по всему графу вычислений и рассчитать градиенты лосса по всем обучаемым параметрам.

In [12]:
# Прямой проход
y_pred = x * w + b

# Вычисление лосса
loss = optim_func(y_pred, y)

# Вычисление градиентов
# с помощью обратного прохода по сети
# и сохранение их в памяти сети
loss.backward()

Здесь loss — значение функции MSE, вычисленное на этой итерации.

In [13]:
loss
Out[13]:
tensor(592.1469, grad_fn=<MeanBackward0>)

К градиентам для обучаемых параметров, для которых requires_grad=True, теперь можно обратиться следующим образом:

In [14]:
print("dL/dw =", w.grad)
print("dL/b =", b.grad)

dL/dw = tensor([-47.3514])
dL/b = tensor([-45.0656])

Если мы посчитаем градиент $M$ раз, то есть $M$ раз вызовем loss.backward(), то градиент будет накапливаться (суммироваться) в параметрах, требующих градиента. Иногда это бывает удобно.

Убедимся на примере, что именно так все и работает.

In [15]:
y_pred = x * w + b
loss = optim_func(y_pred, y)
loss.backward()

print("dL/dw =", w.grad)
print("dL/b =", b.grad)

dL/dw = tensor([-94.7029])
dL/b = tensor([-90.1312])

Видим, что значения градиентов стали в 2 раза больше, за счет того, что мы сложили одни и те же градиенты 2 раза.

Если же мы не хотим, чтобы градиенты суммировались, то нужно занулять градиенты между итерациями после того как сделали шаг градиентного спуска. Это можно сделать с помощью функции zero_ для градиентов.

In [16]:
w.grad.zero_()
b.grad.zero_()
w.grad, b.grad
Out[16]:
(tensor([0.]), tensor([0.]))

Соберем в единый пайплайн весь рассмотренный выше процесс для совершения нескольких итераций обучения. Также напишем функцию визуализации процесса обучения.

In [17]:
def show_progress(
    x: torch.Tensor, y: torch.Tensor, y_pred: torch.Tensor, loss: torch.Tensor
) -> None:
    """Визуализация процесса обучения.

    Параметры: 
    x (torch.Tensor): объекты обучающей выборки;
    y (torch.Tensor): таргеты обучающей выборки;
    y_pred (torch.Tensor): предсказания модели;
    loss (torch.Tensor): текущее значение ошибки модели.
    """

    # Открепим переменную от вычислительного графа перед отрисовкой графика
    y_pred = y_pred.detach()

    # Превратим тензор размерности 0 в число
    loss = loss.item()

    # Стираем предыдущий вывод в тот момент, когда появится следующий
    clear_output(wait=True)

    # Строим новый график
    plt.figure(figsize=(8, 5))
    plt.scatter(x, y, alpha=0.75, label="Обучающая выборка")
    plt.scatter(x, y_pred, color="orange", linewidth=5, label="Предсказания")
    plt.xlabel("% населения с низким уровнем дохода")
    plt.ylabel("Медианная стоимость домов в тыс. $")
    plt.title("Процесс обучения модели в интерактиве")
    plt.legend()
    plt.show()

    print(f"MSE = {loss:.3f}")

В данном случае параметр w отвечает за наклон линии, а параметр b только лишь сдвигает её. На практике параметр b можно менять более "агрессивно", не опасаясь нарушить стабильность обучения.

Давайте установим скорость обучения (learning rate, lr) для параметра b больше, чем для w. Использование различных lr помогает ускорить сходимость модели и избежать ситуаций, когда один параметр обновляется слишком медленно, а другой — слишком быстро. В современных оптимизаторах эта регулировка осуществляется автоматически.

In [18]:
# Инициализация параметров
w = torch.zeros(1, requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

# Количество итераций
num_iter = 1_000

# Скорость обучения для параметров
lr_w = 0.01
lr_b = 0.05

for i in range(num_iter):

    # Forward pass: предсказание модели
    y_pred = x * w + b

    # Вычисление оптимизируемой функции (MSE)
    loss = optim_func(y_pred, y)

    # Обратный проход: вычисление градиентов
    loss.backward()

    # Оптимизация: обновление параметров
    w.data -= lr_w * w.grad.data
    b.data -= lr_b * b.grad.data

    # Зануление градиентов
    w.grad.zero_()
    b.grad.zero_()

    # График + вывод MSE через каждые 5 итераций
    if (i + 1) % 5 == 0:
        show_progress(x, y, y_pred, loss)

        if loss.item() < 39:
            print("Готово!")
            break
No description has been provided for this image 
MSE = 38.978
Готово!

2.3 Двухслойная модель¶

Попробуем усложнить модель, добавив еще один слой. Тем самым модель примет следующий вид

$$\widehat{y}(x) = u(x) w_2 + b_2,$$

$$u(x) = \sigma(xw_1 + b_1),$$

$$\sigma(x) = \text{ReLU}(x) = \begin{equation*}\begin{cases}x, \; x \ge 0, \\ 0, \; \text{иначе,} \end{cases} \end{equation*}$$

$w_1, b_1 \in \mathbb{R}$ — обучаемые параметры первого слоя, $w_2, b_2 \in \mathbb{R}$ — обучаемые параметры второго слоя, $\sigma(x)$ — функция активации, в данном случае ReLU. Можно заметить, что эта функция не удовлетворяет условиям теоремы Цыбенко, тем не менее на практике она часто применяется для нейронных сетей.

In [19]:
# Инициализация параметров
w1 = torch.ones(1, requires_grad=True)
b1 = torch.ones(1, requires_grad=True)
w2 = torch.ones(1, requires_grad=True)
b2 = torch.ones(1, requires_grad=True)

# Функция активации


def act_func(x):
    return x * (x >= 0)


# Количество итераций
num_iter = 1_000

# Скорость обучения для параметров
lr_w = 0.01
lr_b = 0.05

for i in range(num_iter):

    # Forward pass: предсказание модели
    y_pred = act_func(x * w1 + b1) * w2 + b2

    # Вычисление оптимизируемой функции (MSE)
    loss = optim_func(y_pred, y)

    # Bakcward pass: вычисление градиентов
    loss.backward()

    # Оптимизация: обновление параметров
    w1.data -= lr_w * w1.grad.data
    b1.data -= lr_b * b1.grad.data
    w2.data -= lr_w * w2.grad.data
    b2.data -= lr_b * b2.grad.data

    # Зануление градиентов
    w1.grad.zero_()
    b1.grad.zero_()
    w2.grad.zero_()
    b2.grad.zero_()

    # График + вывод MSE через каждые 5 итераций
    if (i + 1) % 5 == 0:
        show_progress(x, y, y_pred, loss)

        if loss.item() < 33:
            print("Готово!")
            break
No description has been provided for this image 
MSE = 32.994
Готово!

Полученная модель более точно описывает данные, так как лосс стал меньше, а функция, которая получилась на выходе модели, оказалась ближе к точкам из исходных данных на графике. Этот эффект был достигнут благодаря добавлению нелинейности в модель.

3. Готовые модули из PyTorch¶

На практике нейронные сети так не пишут и не обучают, вместо этого пользуются готовыми модулями. Напишем такую же нейросеть, но теперь с помощью torch. Для этого будем пользоваться torch.nn.

Воспользуемся следующими модулями:

  • nn.Sequential — модуль для соединения модулей последовательно, друг за другом;
  • nn.Linear — модуль линейного слоя (без функции активации);
  • nn.ReLU — модуль функции активации ReLU.
In [20]:
# собираем модули в последовательность
model = nn.Sequential(
    # кол-во признаков во входном слое 1, в выходном тоже 1
    nn.Linear(in_features=1, out_features=1),
    # та же ф-ция активации, что и раньше, только из pytorch
    nn.ReLU(),
    # кол-во признаков во входном слое 1, в выходном тоже 1
    nn.Linear(in_features=1, out_features=1),
)

model
Out[20]:
Sequential(
  (0): Linear(in_features=1, out_features=1, bias=True)
  (1): ReLU()
  (2): Linear(in_features=1, out_features=1, bias=True)
)

Для того, чтобы работать с данной моделью, нам необходимо поменять размерность x и y.

In [21]:
x_new = x.reshape(-1, 1)
y_new = y.reshape(-1, 1)

print("Было:", x.shape, y.shape)
print("Стало:", x_new.shape, y_new.shape)

Было: torch.Size([506]) torch.Size([506])
Стало: torch.Size([506, 1]) torch.Size([506, 1])

Применим модель к нашим данным и посмотрим на результаты для первых 10 элементов.

In [22]:
model(x_new)[:10]
Out[22]:
tensor([[0.9822],
        [0.9822],
        [0.9822],
        [0.9822],
        [0.9822],
        [0.9822],
        [0.9822],
        [0.9822],
        [0.9822],
        [0.9822]], grad_fn=<SliceBackward0>)

Посмотрим на обучаемые параметры модели с помощью функции named_parameters, которая выдает названия параметров и их значения.

  • Имена 0.weight и 0.bias соответствуют весу $w_1$ и сдвигу $b_1$ первого Linear-слоя.
  • Имена 2.weight и 2.bias соответствуют весу $w_2$ и сдвигу $b_2$ второго Linear-слоя.
In [23]:
for name, param in model.named_parameters():
    print(name)
    print(param.data)

0.weight
tensor([[-0.6124]])
0.bias
tensor([-0.7782])
2.weight
tensor([[-0.5408]])
2.bias
tensor([0.9822])

❓ Вопрос ❓

Почему после 0 идет сразу 2 в данном выводе named_parameters?

Кликни для показа ответа

$0$-й и $2$-й модули в модели представлены линейными слоями, а $1$-й модуль — функцией активации, у которой нет обучаемых параметров.



Инициализируем параметры так же, как мы делали для подобной модели ранее. На этот раз воспользуемся функцией parameters, она возвращает только параметры.

In [24]:
for p in model.parameters():
    p.data = torch.FloatTensor([[1]])
    print(p.data)

tensor([[1.]])
tensor([[1.]])
tensor([[1.]])
tensor([[1.]])

Ранее мы производили оптимизацию самостоятельно. Теперь же сделаем это с помощью оптимизатора SGD из torch, который реализует стохастический градиентный спуск. Он принимает на вход

  • параметры модели, которые мы можем получить, вызвав метод parameters у модели,
  • скорость обучения lr, которую мы обозначали ранее как $\eta$.

У оптимизатора есть возможность задать некоторые другие аргументы, но их мы рассмотрим уже на 3 курсе.

Установим скорость обучения на уровне $0.01$ для всех параметров сразу. Также заменим нашу написанную MSE функцию на соответствующую из torch.

In [25]:
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)
optim_func = nn.MSELoss()

Обучим полученную модель на наших данных. Теперь обновления значений параметров происходят с помощью вызова optimzer.step(), а зануление градиентов — с помощью optimizer.zero_grad().

In [26]:
# Количество итераций
num_iter = 10_000

for i in range(num_iter):

    # Forward pass: предсказание модели по данным x_new
    y_pred = model(x_new)

    # Вычисление оптимизируемой функции (MSE) по предсказаниям
    loss = optim_func(y_pred, y_new)

    # Bakcward pass: вычисление градиентов оптимизируемой функции
    # по всем параметрам модели
    loss.backward()

    # Оптимизация: обновление параметров по формулам соответствующего
    # метода оптимизации, используются вычисленные ранее градиенты
    optimizer.step()

    # Зануление градиентов
    optimizer.zero_grad()

    # График + вывод MSE через каждые 5 итераций
    if (i + 1) % 5 == 0:
        show_progress(x, y, y_pred, loss)

        if loss.item() < 35:
            print("Готово!")
            break
No description has been provided for this image 
MSE = 34.986
Готово!

❓ Вопрос ❓

Как optimizer.step() использует вычисленные в loss.backward() градиенты?

Кликни для показа ответа

  • loss.backward() вычисляет градиенты функции потерь по параметрам модели и сохраняет их в .grad соответствующих тензоров, таких как model[0].weight.grad, model[0].bias.grad и т. д.

  • optimizer.step() затем обновляет параметры модели, используя сохраненные градиенты и заданные гиперпараметры (например, скорость обучения) в соответствии с выбранным методом оптимизации.



Полученная модель довольно хорошо приближает данные, однако дольше сходится к оптимуму за счет меньшей скорости обучения для параметров сдвига.

3.1 Улучшение модели¶

Увеличим количество слоев до трех и добавим нейронов в каждый из них.

In [27]:
# собираем модули в последовательность
model = nn.Sequential(
    nn.Linear(in_features=1, out_features=16),
    nn.ReLU(),
    nn.Linear(in_features=16, out_features=32),
    nn.ReLU(),
    nn.Linear(in_features=32, out_features=1),
)

model
Out[27]:
Sequential(
  (0): Linear(in_features=1, out_features=16, bias=True)
  (1): ReLU()
  (2): Linear(in_features=16, out_features=32, bias=True)
  (3): ReLU()
  (4): Linear(in_features=32, out_features=1, bias=True)
)

❓ Вопрос ❓

Какой размер у матрицы весов и вектора сдвигов второго слоя?

Кликни для показа ответа
  • (16, 32) у весов $W$;
  • (32,) у сдвига $b$.


Все веса инициализируем случайно значениями из отрезка $[-0.1, 0.1]$, а все сдвиги — нулями.

In [28]:
for name, param in model.named_parameters():
    if "weight" in name:
        nn.init.uniform_(param, a=-0.1, b=0.1)
    elif "bias" in name:
        nn.init.constant_(param, 0.0)

По аналогии с реализацией в пункте 2 сделаем learning rate разным для весов и для сдвигов.

In [29]:
param_groups = [
    {"params": [p for name, p in model.named_parameters() if "weight" in name], "lr": 0.01},
    {"params": [p for name, p in model.named_parameters() if "bias" in name], "lr": 0.05},
]

optimizer = torch.optim.SGD(params=param_groups)
loss_function = nn.MSELoss()
In [30]:
# Количество итераций
num_iter = 10_000

for i in range(num_iter):

    # Forward pass: предсказание модели по данным x_new
    y_pred = model(x_new)

    # Вычисление оптимизируемой функции (MSE) по предсказаниям
    loss = optim_func(y_pred, y_new)

    # Bakcward pass: вычисление градиентов оптимизируемой функции
    # по всем параметрам модели
    loss.backward()

    # Оптимизация: обновление параметров по формулам соответствующего
    # метода оптимизации, используются вычисленные ранее градиенты
    optimizer.step()

    # Зануление градиентов
    optimizer.zero_grad()

    # График + вывод MSE через каждые 5 итераций
    if (i + 1) % 5 == 0:
        show_progress(x, y, y_pred, loss)

        if loss.item() < 27:
            print("Готово!")
            break
No description has been provided for this image 
MSE = 26.747
Готово!

Получили более точное приближение данных и меньшую ошибку MSE.

Далее мы посмотрим примеры применения нейронных сетей на практике.